Математик Теренс Тао решил опасную для мозга «Гипотезу Коллатца»

Москва, 16:59, 15 Дек 2019, редакция FTimes.ru, автор Сергей Кузнецов.

Тнренс Тао добился огромного прогресса в гипотезе Коллатца, простой на взгляд загадке, которая десятилетиями терзала умы несчастных математиков.

Опытные математики предупреждают начинающих держаться подальше от гипотезы Коллатца. Это как «песнь сирены», говорят они: попадая под ее гипноз, вы, возможно, никогда больше не будете выполнять значимую работу.

Гипотеза Коллатца, возможно, является самой простой нерешенной проблемой в математике, и именно это делает ее столь коварно заманчивой.

Один из лучших математиков в мире осмелился противостоять этой проблеме — и дал один из самых значительных результатов в гипотезе Коллатца за десятилетия.

8 сентября Теренс Тао опубликовал доказательство, показывающее, что, по крайней мере, гипотеза Коллатца «почти» верна для «почти» всех чисел. Хотя результат не является полным доказательством гипотезы, он является серьезным шагом вперед по проблеме, которая с трудом раскрывает свои секреты.

«Я не ожидал полностью решить эту проблему», — сказал Тао, математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. «Но то, что я сделал, оказалось больше, чем я ожидал».

Гипотеза Коллатца

Лотар Коллатц выдвинул одноименную гипотезу в 1930-х годах. Проблема звучит как фокус на вечеринке.

Выберите число, любое число. Если он нечетное, умножьте его на 3 и добавьте 1. Если оно четное, разделите его на 2. Теперь у вас есть новое число. Примените те же правила к новому числу и продолжайте повторять процесс.

Интуиция может предположить, что число, с которого вы начинаете, влияет на число, с которым вы окажетесь в конечном итоге. Может быть, некоторые числа в конечном итоге делятся вплоть до 1. Может быть, другие уходят в бесконечность.

Но Коллатц предсказал, что это не так. Он предположил, что если вы начнете с положительного целого числа и запустите этот процесс достаточно долго, все начальные значения приведут к 1. И как только вы достигнете 1, правила гипотезы Коллатца ограничат вас циклом: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1….

За прошедшие годы многие решатели проблем были очарованы привлекательной простотой гипотезы Коллатца или «проблемы 3х + 1». Математики проверили квинтиллионы примеров (а это число с 18 нулями), не найдя ни единого исключения из гипотезы Коллатца. Вы даже можете попробовать решить несколько примеров самостоятельно с помощью любого из многочисленных «калькуляторов Коллатца» онлайн. Интернет наводнен необоснованными любительскими доказательствами, которые утверждают, что решили проблему так или иначе.

Строки наборов чисел, начинающихся с n, равного 11, затем n, равного 13, n, равного 320, и n, равного 640.

«Вам просто нужно знать умножение на 3 и деление на 2, и вы можете начать играть с ним сразу же. Очень заманчиво попробовать», — говорит Марк Чемберленд, математик из колледжа Гриннелла.

Но научные доказательства редки

В 1970-х годах математики показали, что почти все последовательности Коллатца — список чисел, которые вы получаете при повторении процесса — в конечном итоге достигают числа, меньшего, чем вы начали — слабое доказательство, но, тем не менее, свидетельство того, что почти все последовательности Коллатца склоняются к 1.

Другие результаты также не приблизились к решению основной проблемы.

Бесполезность этих усилий привела многих математиков к выводу, что эта гипотеза просто недостижима для современного понимания, и что им лучше потратить время на исследования чего-то более полезного.

Неожиданный совет

Тао обычно не тратит время на невозможные проблемы. В 2006 году он выиграл медаль Филдса, высшую награду по математике, и его считают одним из лучших математиков своего поколения. Он привык решать проблемы, а не преследовать несбыточные мечты. Но каждый год он испытывает свою удачу в течение дня или двух на одной из известных нерешенных математических проблем. За прошедшие годы он предпринял несколько попыток разгадать гипотезу Коллатца, но безрезультатно.

Затем в августе этого года анонимный читатель оставил комментарий в блоге Тао. Комментатор предложил попытаться решить гипотезу Коллатца для «почти всех» чисел, а не пытаться решить ее полностью.

«Я не ответил, но это заставило меня снова задуматься о проблеме», — сказал Тао.

И он понял, что гипотеза Коллатца в некотором роде похожа на типы уравнений, называемых уравнениями в частных производных, которые фигурировали в некоторых наиболее значимых результатах его карьеры.

Входные данные и их результаты

Дифференциальные уравнения с частными производными могут использоваться для моделирования многих наиболее фундаментальных физических процессов во Вселенной, таких как пульсация гравитации в пространстве-времени. Они возникают в ситуациях, когда будущее положение системы — например, состояние пруда через пять секунд после того, как вы бросили в него камень — зависит от влияния двух или более факторов, таких как вязкость и скорость воды.

Тао понял, что с помощью этих дифуравнений вы подключаете некоторые значения, извлекаете другие значения и повторяете процесс — все, чтобы понять это будущее состояние системы. Для любого конкретного дифуравнения математики хотят знать, приводят ли некоторые начальные значения к бесконечным значениям в качестве выходных данных или всегда уравнение дает конечные значения, независимо от значений, с которых вы начинаете.

Таким образом, Теренс Тао, вдохновленный комментарием в своем блоге, добился одного из самых больших достижений за многие десятилетия существования гипотезы Коллатца.

Так закончилось многолетнее мучительное исследование того, всегда ли вы в конечном итоге получаете одно и то же число (1) из процесса Коллатца, независимо от того, какое число вы вводите.